premier nombre sur le boulier (135) : nous faisons passer à droite 5 boules pour les unités
(bleues), 3 boules pour les dizaines (rouges) et 1 pour les centaines (verte). Ensuite, nous
formons le deuxième nombre (321) : nous faisons passer 1 boule bleue à droite (unités), 2 boules
rouges (dizaines) et finalement 3 boules vertes (centaines). À droite, nous aurons donc : 6 boules
bleues (unités), 5 boules rouges (dizaines) et 4 boules vertes (centaines), c'est-à-dire 456.
Opération complexe : Nous voulons réaliser l'addition 273 + 564. Nous plaçons le premier
nombre (273) : 3 boules pour les unités (bleues), 7 pour les dizaines (rouges) et deux pour les
centaines (vertes). Nous continuons en plaçant le nombre 564 à droite, avec 4 boules pour les
unités (bleues), 6 boules pour les dizaines (rouges), mais nous avons déjà placé 7 boules
rouges, il n'y en a donc pas suffisamment. Nous devrons par conséquent faire passer à droite les
3 boules rouges qui restent à gauche et placer également à droite une boule de centaines
(verte). Nous avons à nouveau toutes les boules des dizaines à gauche, comme nous avons
placé à droite seulement 3 boules de dizaines et qu'il nous en manque 3 autres à placer, nous
recommençons et plaçons à droite les 3 boules de dizaines (rouges) qui manquaient. Finalement,
nous ajoutons 5 boules de centaines (vertes) à droite. Nous obtiendrons le résultat suivant : 7
boules d'unités, 3 de dizaines et 8 de centaines, c'est-à-dire 837.
SOUSTRACTION
Opération simple : Nous voulons effectuer la soustraction 425 - 213. Toutes les boules se
trouvent à gauche du boulier, Nous plaçons à droite le premier nombre (425) : 5 boules pour les
unités (bleues), 2 pour les dizaines (rouges) et 4 pour les centaines (vertes). Pour soustraire le
deuxième nombre (213), nous commençons par les unités ; nous plaçons 3 boules pour les
unités (bleues) de la droite à la gauche, pour les dizaines nous plaçons à gauche 1 boule (rouge)
et pour les centaines, nous faisons passer 2 boules (vertes) de la droite vers la gauche. Le
résultat est le suivant : 2 boules d'unités (bleues), 1 de dizaines (rouge) et 2 de centaines
(vertes), c'est-à-dire 212.
Opération complexe : Nous allons effectuer la soustraction 976 - 485. Comme pour les
opérations précédentes, nous plaçons 6 unités, 7 dizaines et 9 centaines à droite (976). Pour
soustraire le deuxième nombre (485), nous commençons par les unités. Nous enlevons 5 unités
(bleues) et nous les plaçons à gauche, nous enlevons ensuite 8 dizaines, mais nous n'avons pas
assez de boules. Nous devons par conséquent faire passer les 7 de dizaines à gauche, tout
comme 1 des 9 boules de centaines (verte). Nous plaçons ensuite toutes les boules de dizaines
(rouges) à droite et 1 boule rouge (dizaine) à gauche puisqu'il nous en manquait une à soustraire.
Finalement, nous soustrayons 4 centaines (vertes) aux 8 que nous avons (nous en avons enlevé
1 lors de la soustraction des dizaines), il nous en reste 4 dans la partie droite. Le résultat final est
le suivant : 4 centaines, 9 dizaines et 1 unité, c'est-à-dire 491.
MULTIPLICATION
Opération simple : Pour multiplier par exemple 413 x 2, comme pour les autres opérations, toutes
les boules doivent se trouver à gauche. Nous plaçons d'abord les unités (bleues) sur le côté vide
à droite, c'est-à-dire 2 fois 3 boules. Nous procédons de la même manière avec les dizaines en
plaçant 2 fois 1 boule et avec les centaines en plaçant 2 fois 4 boules vertes. Le résultat sera le
suivant : 6 boules pour les unités (bleues), 2 boules pour les dizaines (rouges) et 8 boules pour
les centaines (vertes), c'est-à-dire 826.
Opération complexe : Si nous voulons multiplier 74 x 2, nous commencerons par placer à droite 2
fois 4 boules d'unités (bleues). Ensuite nous multiplions les dizaines et plaçons 2 fois 7 boules de
dizaines (rouges), mais nous n'en avons pas suffisamment. Par conséquent, nous plaçons les 7
premières à droite, ainsi que les 3 restantes, et nous plaçons 1 boule de centaines (verte) et
nous faisons passer à gauche toutes les boules des dizaines (rouges). Puisqu'il manque 4
dizaines à placer, nous plaçons ces 4 boules de dizaines (rouges) à droite. Finalement, il nous
restera 1 boule de centaines (verte), 4 boules de dizaines (rouges) et 8 boules d'unités (bleues),
c'est-à-dire 148.
(DE)
1. GESCHICHTE UND BESCHREIBUNG
Der Abakus gilt als ältestes Recheninstrument und als Vorläufer moderner Digitaltaschenrechner.
Sein genauer Ursprung ist schwer festzulegen, doch weisen die meisten Historiker nach
Zentralasien.
Er wurde in verschiedenen Gegenden der Welt weiterentwickelt und heutzutage gibt es
verschiedene Rechenschieber-Typen: das Suan Pan (chinesischer Rechenschieber), den
Soroban (japanischer Rechenschieber), die Stschoty (russischer Rechenschieber) usw.
Der Abakus ist leicht zu verstehen und nützlich beim Rechnenlernen. Sein optisches
Zahlensystem erleichtert das Verständnis von Rechenvorgängen mit natürlichen Zahlen (Plus-
und Minusrechnen, Teilen und Malnehmen) und sogar von Quadratwurzel und Potenzen. Der
Vorteil des ABAKUS liegt darin, dass er uns logisches Denken zu jeglichem mathematischen
Problem beibringt und so die Fähigkeit fördert, sich selbstständig Lösungen auszudenken.
Der Abakus besteht aus einem Rahmen mit parallel laufenden Stangen, auf denen sich je zehn
Kugeln hin- und herschieben lassen.
Er sieht aus wie auf Abbildung 1.
1
Einer
10
Zehner
100
Hunderter
1.000
Tausender
10.000
Zehntausender
100.000
Hunderttausender
1.000.000
Millionen
10.000.000
Zehn Millionen
100.000.000
Hundert Millionen
1.000.000.000
Milliarden
2. WIE DER ABAKUS BENUTZT WIRD
Vor der Benutzung müssen sich alle Kugeln auf der linken Seite befinden.
Zu Beginn empfiehlt es sich, mit den Kugeln verschiedene Zahlen darzustellen, unterschiedliche
Rechenarten zu testen und dabei das jeweilige Ergebnis zu berechnen.
2.A. Um die Zahl 48 zu bilden, werden 8 Einer-Kugeln (erste Reihe, balu) nach rechts
geschoben. Zur Bildung von Zehnern werden 4 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts
verschoben. Die Zahl wird so dargestellt, wie auf der Abbildung 2.A. zu sehen ist.
2.B. Um die Zahl 25 961 zu bilden, wird 1 Einer-Kugel (erste Reihe, blau) nach rechts
verschoben. Zur Bildung der Zehnerstellen werden 6 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts
verschoben. Zur Bildung der Hunderter verschieben wir 9 Kugeln (dritte Reihe, grün) nach recht,
Zur Bildung der Einerstellen des Tausenders verschieben wir 5 Kugeln (vierte Reihe, gelb) nach
rechts und abschließend verschieben wir 2 Kugeln (fünfte Reihe, weiß) nach rechts, um die
Zehnerstellen des Tausenders zu bilden. Diese Zahl wird auf dem Abakus so wie auf der
Abbildung 2.B. dargestellt.
2.C. Zur Darstellung der Zahl 312 437 650 beginnen wir mit den Einern (erste Reihe, blau), aber
dieses Mal haben wir keine Kugel zum Verschieben, weshalb wir zu den Zehnern übergehen und
5 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschieben.. Um die Hunderter (zweite Reihe, grün) zu
bilden, verschieben wir 6 Kugeln nach rechts. Für die Einerstellen des Tausenders (vierte Reihe,
gelb) verschieben wir 7 Kugeln nach rechts. Für die Zehnerstellen des Tausenders (fünfte Reihe,
weiß) werden 3 Kugeln nach rechs verschoben. Für die Hunderterstellen des Tausenders
(sechste Reihe, blau) verschieben wir 4 Kugeln nach links. Für die Stellen der Million (siebte
Reihe, rot) verschieben wir 2 Kugeln nach rechtsDie Zehnerstelle der Million (achte Reihe, grün)
ist 1, weshalb wir eine einzige Kugel nach rechts verschieben. Und schließlich verschieben wir
für die Hunderterstellen der Million (neunte Reihe, gelb) 3 Kugeln nach rechts. Die Abbildung 2.C.
zeigt, wie diese Zahl auf dem Abakus dargestellt wird.
Nachfolgend ein paar Übungen zum Ergänzen:
* 1: Mit dem Abakus folgende Zahlen darstellen: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.
* 2: Die Zahlen aufschreiben, die in Abbildung 3 dargestellt sind:
A/ ..............
B/ ..............
C/ ..............
D/ ..............
E/ ..............
F/ ..............
G/ ..............
H/ ..............
I/ ..............
* Die Lösungen zu den Übungen befinden sich am Ende der Anleitung.
3. RECHNEN MIT DEM ABAKUS
Alle Rechenvorgänge lassen sich in einfach oder komplex unterteilen.
ZUSAMMENZÄHLEN
Einfach: (Abbildung 4) Wir möchten 135 + 321 berechnen. Zuerst müssen wir auf dem Abakus
die erste Zahl (135) darstellen: wir schieben fünf blaue Einerkugeln, drei rote Zehnerkugeln und
eine grüne Hunderterkugel nach rechts. Anschließend bilden wir die zweite Zahl (321) und
schieben sie nach rechts: eine blaue Einerkugel, zwei rote Zehnerkugeln und drei grüne
Hunderterkugeln. Als Ergebnis erhalten wir auf der rechten Seite: sechs blaue Einerkugeln, fünf
rote Zehnerkugeln und vier grüne Hunderterkugeln: 456
Komplex: Berechnen von: 273 + 564. Die erste Zahl (273) wird dargestellt: 3 blaue Einerkugeln,
sieben rote Zehnerkugeln und zwei grüne Hunderterkugeln. Weiter geht's, indem wir die zweite
Zahl (564) nach rechts schieben: vier blaue Einerkugeln, sechs rote Zehnerkugeln - doch wir
haben schon sieben auf der rechten Seite, also gibt es nicht genügend Zehnerkugeln. Also
müssen wir die drei Kugeln, die sich noch auf der linken Seite befinden, nach rechts schieben.
Dann schieben wir eine grüne Hunderterkugel nach rechts. Und im Gegenzug schieben wir alle
Zehnerkugeln wieder nach links. Weil wir bisher erst drei Zehnerkugeln nach rechts geschoben
haben, fehlen noch weitere drei Zehnerkugeln, die wir jetzt nach rechts schieben. Schließlich
schieben wir auch fünf grüne Hunderterkugeln nach rechts. Als Ergebnis haben wir sieben
Einerkugeln, drei Zehnerkugeln und 8 Hunderterkugeln: 837
ABZIEHEN
Einfach: Wir berechnen: 425 - 213. Alle Kugeln befinden sich auf der linken Seite; dann schieben
wir die erste Zahl (425) nach rechts: fünf blaue Einerkugeln, zwei rote Zehnerkugeln und vier
grüne Hunderterkugeln. Zum Abziehen der zweiten Zahl (213) beginnen wir mit den Einern: wir
schieben drei blaue Einerkugeln von rechts nach links; bei den Zehnern schieben wir eine rote
Kugel nach links und bei den Hundertern zwei grüne. Das Endergebnis lautet: zwei blaue
Einerkugeln, eine rote Zehnerkugel und zwei grüne Hunderterkugeln: 212
Komplex: Jetzt berechnen wir 976 - 485. Wie bei den vorangegangenen Rechnungen schieben
wir die erste Zahl nach rechts: sechs Einer, sieben Zehner und neun Hunderter (976). Zum
Abziehen der zweiten Zahl (485) beginnen wir mit den Einern: Wir schieben fünf blaue
Einerkugeln auf die linke Seite. Anschließend ziehen wir acht Zehner ab, aber wir haben nicht
genügend Kugeln; daher müssen wir die sieben roten Zehnerkugeln auf der linken Seite nach
rechts schieben. Dann schieben wir eine der neun grünen Hunderterkugeln nach links.
Gleichzeitig schieben wir zum Ausgleich alle roten Zehnerkugeln wieder nach rechts und davon
die eine, die wir noch abziehen müssen, wieder nach links.
Schließlich schieben wir von den acht verbliebenen grünen Hunderterkugeln (eine haben wir
beim Abziehen der Zehner nach links geschoben) vier nach links. Rechts bleiben also vier. Das
Ergebnis auf der rechte Seite lautet: vier Hunderter, ein Zehner und ein Einer: 491
MALNEHMEN
Einfach: Wir berechnen 413 x 2. Wie bei allen Vorgängen müssen sich anfangs alle Kugeln links
befinden. Zuerst berechnen wir die blauen Einser und schieben zweimal drei Kugeln nach rechts.
Dann schieben wir zweimal eine rote Zehnerkugel und schließlich zweimal vier grüne
Hunderterkugeln nach rechts. Als Ergebnis erhalten wir: sechs blaue Einerkugeln, zwei rote
Zehnerkugeln und acht grüne Hunderterkugeln: 826
Komplex: Wenn wir 74 x 2 berechnen wollen, schieben wir zuerst zweimal vier blaue Einerkugeln
nach rechts. Weiter geht es mit den Zehnern und wir müssen zweimal sieben rote Kugeln nach
rechts schieben - doch wir haben nicht genügend Kugeln. Also schieben wir die ersten sieben
Kugeln und auch die übrigen drei nach rechts. Dann schieben wir eine grüne Hunderterkugel
nach rechts und zum Ausgleich alle roten Zehner wieder nach links. Weil wir noch vier Zehner zu
verschieben haben, bewegen wir vier rote Kugeln wieder nach rechts. Am Ende haben wir auf
der rechten Seite eine grüne Hunderterkugel, vier rote Zehnerkugeln und 8 blaue Einerkugeln:
148
(IT)
1. STORIA E DESCRIZIONE
Il pallottoliere è considerato lo strumento di calcolo più antico e il precursore delle calcolatrici
digitali moderne. È difficile stabilire la sua origine esatta, ma la maggior parte degli studiosi di
storia crede sia l'Asia centrale.
Si è sviluppato in modo diverso in varie zone del mondo e oggi esistono diversi tipi di pallottolieri:
il Suan Pan (pallottoliere cinese), il soroban (pallottoliere giapponese) il Stschoty (pallottoliere
russo)...
Il pallottoliere è molto facile da capire ed è utile per imparare a fare calcoli. Il suo sistema di
posizione della numerazione aiuta a capire le operazioni dei numeri naturali (addizioni,
sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni) e addirittura la radice quadrata e le potenze. Il vantaggio
del PALLOTTOLIERE è che ci insegna a pensare e a ragionare in modo logico su qualsiasi
problema matematico, sviluppando in questo modo la capacità di pensare a soluzioni per
risolvere gli stessi.
Il pallottoliere è formato da un quadro con sbarre parallele in cui sono infilate 10 palline mobili.
Si rappresenta come mostrato nell'immagine 1.
1
Unità
10
Decina
100
Centinaio
1.000
Unità di migliaia
10.000
Decina di migliaia
100.000
Centinaio di migliaia
1.000.000
Unità di milione
10.000.000
Decina di milione
100.000.000
Centinaio di milione
1.000.000.000
Unità di miliardo
4