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La regla para la substracción será tal que si j – k < 0, entonces j-k se define
como j-k+n. Por lo tanto, 8-10 ≡ 2 (mod 12), se interpreta como "ocho menos
diez es congruentes a dos, módulo doce." Otros ejemplos de la substracción
en aritmética del módulo 12 serían 10-5 ≡ 5 (mod 12); 6-9 ≡ 9 (mod 12); 5
– 8 ≡ 9 (mod 12); 5 –10 ≡ 7 (mod 12); etcétera.
La multiplicación sigue la regla que si j⋅k > n, de modo que j⋅k = m⋅n + r,
donde m y r son enteros no negativos, ambos menos que n, entonces j⋅k ≡ r
(mod n). El resultado de multiplicar j por k en aritmética modular de módulo
es, esencialmente, el residuo entero de j⋅k/n en aritmética infinita, si j⋅k>n.
Por ejemplo, en aritmética del módulo 12 tenemos 7⋅3 = 21 = 12 + 9, (o,
7⋅3/12 = 21/12 = 1 + 9/12, es decir, el residuo entero de 21/12 es 9).
Podemos ahora escribir 7⋅3 ≡ 9 (mod 12), e interpretar este resultado como
"siete por tres es congruentes a nueve, módulo doce."
La operación de la división se puede definir en términos de la multiplicación
como sigue, r/k ≡ j (mod n), si, j⋅k ≡ r (mod n). Esto significa que r debe ser
el residuo de j⋅k/n. Por ejemplo, 9/7 ≡ 3 (mod 12), porque 7⋅3 ≡ 9 (mod
12).
Algunas divisiones no se permiten en aritmética modular. Por ejemplo,
en aritmética del módulo 12 usted no puede definir 5/6 (mod 12) porque la
tabla de la multiplicación de 6 no muestra el resultado 5 en aritmética del
módulo 12. Esta tabla de la multiplicación se demuestra abajo:
6*0 (mod 12)
6*1 (mod 12)
6*2 (mod 12)
6*3 (mod 12)
6*4 (mod 12)
6*5 (mod 12)
Definición formal de un anillo aritmético finito
La expresión a ≡ b (mod n) se interpreta como "a es congruente a b, modulo
n," y es verdadero si (b-a) es un múltiplo de n.
reglas de la aritmética se simplifican a las siguientes:
a ≡ b (mod n) y c ≡ d (mod n),
Si
0
6*6 (mod 12)
6
6*7 (mod 12)
0
6*8 (mod 12)
6
6*9 (mod 12)
0
6*10 (mod 12)
6
6*11 (mod 12)
Con esta definición las
0
6
0
6
0
6
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