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dz/dt = (dy/dt)
El diferencial total de una función z = z(x,y)
De la ecuación pasada, si nos multiplicamos por despegue, conseguimos el
diferencial total de la función z =
(∂z/∂y)
⋅
dy.
Una versión diferente de la regla de la cadena se aplica al caso en el cual z
= f(x, y), x = x(u, v), y = y(u, v), tal que z = f[x(u, v), y(u, v) ]. Las fórmulas
siguientes representan la regla de la cadena para esta situación:
z
z
u
x
Determinación de extremos en funciones de dos variables
Para que la función z =f(x, y) tenga un punto extremo en (x
derivadas ∂f/∂x y ∂f/∂y deben ser iguales a cero en ese punto. Éstas son
condiciones necesarias. Las condiciones suficientes para que la función
tenga un extremo en el punto (x
2
2
2
2
(∂
f/∂y
)-[∂
f/∂x∂y]
> 0. El punto (x
o un mínimo relativo si ∂
⋅
2
2
2
Si ∆ = (∂
f/∂x
)
(∂
f/∂y
como punto de la montura, donde la función alcanza un máximo en x si
mantenemos y constante, mientras que, al mismo tiempo, alcanza un mínimo
x se mantiene constante, o viceversa.
Ejemplo 1 - Determínense los puntos extremos (si existen) de la función, f(X,Y)
3
2
= X
-3X-Y
+5. Primero, definimos la función, f(X,Y), y sus derivadas, fX(X,Y) =
∂f/∂X, fY(X,Y) = ∂f/∂Y. Resolviendo simultáneamente las ecuaciones fX(X,Y) =
0 y fY(X,Y) = 0, resulta en:
⋅
(∂z/∂y) + (dx/dt)
z(x, y), es decir, dz =
x
z
y
z
,
u
y
u
v
) son ∂f/∂x = 0, ∂f/∂y = 0, y ∆ = (∂
,y
o
o
) es un máximo relativo si ∂
,y
o
o
2
2
> 0. El valor ∆ se conoce como el discriminante.
f/∂x
2
2
2
)-[∂
f/∂x∂y]
< 0, tenemos una condición conocida
∂z/∂x).
⋅(
∂z/∂x)
(
⋅
dx +
z
x
z
y
x
v
y
v
, y
), sus
o
o
2
f/∂x
2
2
f/∂x
< 0,
Página 14-5
⋅
2
)
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